Question

4．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥CD，且AB=AD=DC=2，點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，現(xiàn)將平面四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折起成四面體PBCD．
（1）當(dāng)平面PBD⊥平面CBD時(shí)，求證：BP⊥平面PCD；
（2）在（1）的條件下，求二面角M-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CD⊥平面PBD，從而CD⊥BP，再由BP⊥PD，能證明BP⊥平面PCD．
（2）以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面BDC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-PC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵平面PBD⊥平面CBD，BD⊥CD，
平面PBD∩平面CBD=BD，
∴CD⊥平面PBD，
∵BP?平面PBD，
∴CD⊥BP，
又BP⊥PD，
CD∩PD=D，
∴BP⊥平面PCD．
解：（2）如圖，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，
過(guò)D作平面BDC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2，0），
P（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），M（$\sqrt{2}，0，0$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MC}$=（-$\sqrt{2}，2，0$），
由（1）知BP⊥平面PCD，
則平面PCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}$），
設(shè)平面MPC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MP}=\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=-\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，1，0$），
設(shè)二面角M-PC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角M-PC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．