Question

5．關于曲線$C：\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$，有如下結論：
①曲線C關于原點對稱；
②曲線C關于直線x±y=0對稱；
③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；
④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x²+y²=2無公共點；
⑤曲線C與曲線$D：|x|+|y|=2\sqrt{2}$有4個交點，這4點構成正方形．其中所有正確結論的序號為①②④⑤．

Answer 1

分析 ①，將方程中的x換成-x，y換成-y方程不變；
②，將方程中的x換成-y，y換成-x方程不變，；
③，由方程得x²＞1，y²＞1，故曲線C不是封閉圖形；
④，聯(lián)立曲線$C：\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$圓x²+y²=2，方程組無解，無公共點；
⑤，當x＞0，y＞0時，聯(lián)立曲線C與x+y=2$\sqrt{2}$只有一解（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），根據(jù)對稱性，共有有4個交點，這4點構成正方形，

解答 解：對于①，將方程中的x換成-x，y換成-y方程不變，故①正確；
對于②，將方程中的x換成-y，y換成-x方程不變，故②正確；
對于③，由方程得x²＞1，y²＞1，故曲線C不是封閉圖形，故③錯；
對于④，聯(lián)立曲線$C：\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$圓x²+y²=2，方程組無解，無公共點，故④正確；
對于⑤，當x＞0，y＞0時，聯(lián)立曲線C與x+y=2$\sqrt{2}$只有一解（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），根據(jù)對稱性，共有有4個交點，這4點構成正方形，正確．
故答案為：①②④⑤

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題