Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)Q（1，2），P是動(dòng)點(diǎn)，且△POQ的三邊所在直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（1，0）作傾斜角為60°的直線(xiàn)L，交曲線(xiàn)C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$，即可求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過(guò)F傾斜角為60°的直線(xiàn)L：y=$\sqrt{3}$（x-1），與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得：y²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y-4=0，利用韋達(dá)定理，即可求△AOB的面積．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），則k_OP=$\frac{y}{x}$，k_OQ=2，k_PQ=$\frac{y-2}{x-1}$，
由$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$．
整理得點(diǎn)P的軌跡的方程為：y²=4x（y≠0，y≠2）；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過(guò)F傾斜角為60°的直線(xiàn)L：y=$\sqrt{3}$（x-1），
與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得：y²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y-4=0，則y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，y₁y₂=-4，
∴S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{\frac{16}{3}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查斜率的計(jì)算，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．