Question

16．如圖，正四棱錐S-ABCD中．SA=AB=2，E、F、G分別為BC、SC、DC的中點(diǎn)，設(shè)P為線(xiàn)段FG上任意一點(diǎn)．
（1）求證：EP⊥AC；
（2）試探究當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段FG的何位置時(shí)使得直線(xiàn)BP與平面EFG所成的角取到最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC交BD于O，則SO⊥底面ABCD，從而SO⊥AC，又BD⊥AC，從而AC⊥平面SBF，進(jìn)而AC⊥SO，由此能證明PE⊥AC．
（2）設(shè)AB=2，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面EFG的法向量，設(shè)BP與平面EFG所成角為α，由向量法能求出點(diǎn)P在線(xiàn)段FG上，λ=1時(shí)sinα取最大值．

解答 （1）證明：設(shè)AC交BD于O，
∵S-ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，
∴SO⊥AC，（1分）
∵BD⊥AC，SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBF，∴AC⊥SO，
∵SD∥FG，∴AC⊥GF，
又AC⊥GE，∴AC⊥平面GEF，
∵PE?面GEF，∴PE⊥AC．（4分）
（2）解：設(shè)AB=2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則G（0，1，0），E（1，0，0），C（1，1，0），
S（0，0，$\sqrt{2}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{GF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（5分）
設(shè)$\overrightarrow{GP}$=$λ\overrightarrow{GF}$=（$\frac{λ}{2}$-，-$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$），故點(diǎn)P（$\frac{λ}{2}$，1-$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$）
∴$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{λ}{2}$-1，2-$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$），（6分）
設(shè)面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{-\frac{a}{2}+\frac{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\end{array}\right.$，令a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0）（7分）
設(shè)BP與平面EFG所成角為α，
則sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{\sqrt{{λ}^{2}-3λ+5}}$（8分）
∵點(diǎn)P在線(xiàn)段FG上，∴0≤λ≤1，即λ=1時(shí)sinα取最大值，
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查線(xiàn)面角最大時(shí)點(diǎn)的位置，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．