Question

17．已知{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令{b_n}滿(mǎn)足b_n=a_n•xⁿ（x≠0且x≠1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知a_n+1=a_n+1，所以a_n=n；
（2）用錯(cuò)位相減法求解．

解答 解：（1）點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函數(shù)y=x²+1
所以a_n+1=a_n+1
根據(jù)等差數(shù)列的定義：{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
所以a_n=n；
（2）由已知b_n=xⁿa_n=nxⁿ
S_n=b₁+b₂+b₃++b_n-1+b_n
=1×x¹+2×x²+3×x³+…+（n-1）×x^n-1+n×xⁿ①
xS_n=1×x²+2×x³+3×x⁴+…+（n-1）×xⁿ+n×xⁿ⁺¹②
①-②得（1-x）S_n=x+x²+x³+x⁴+…+×xⁿ-n×xⁿ⁺¹=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{1-x}$-n×xⁿ⁺¹，
S_n=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{（1-x）^{2}}$-$\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．