Question

3．已知函數(shù)f（x）=Asinx+cosx，A＞0．
（1）若A=1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在x=x₀處取得最大值$\sqrt{13}$，求cosx₀ 的值．

Answer 1

分析 （1）由題意利用兩角和的正弦函數(shù)公式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由兩角和的正弦函數(shù)公式可得f（x）=$\sqrt{{A}^{2}+1}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{A}$，由題意可求sin（x₀+φ）=1，其中tanφ=$\frac{1}{A}$，$\sqrt{{A}^{2}+1}$=$\sqrt{13}$，進(jìn)而解得A，sinφ的值，解得x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z，利用誘導(dǎo)公式即可解得cosx₀ 的值．

解答 解：（1）∵由題意可得：f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
可得單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）∵f（x）=Asinx+cosx=$\sqrt{{A}^{2}+1}$sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{A}$，
且函數(shù)f（x）在x=x₀處取得最大值$\sqrt{13}$，
∴sin（x₀+φ）=1，其中tanφ=$\frac{1}{A}$，$\sqrt{{A}^{2}+1}$=$\sqrt{13}$，
∴由A＞0，解得：A=2$\sqrt{3}$，sinφ=$\frac{1}{\sqrt{{A}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
x₀+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z，
∴cosx₀ =cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=sinφ=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．