8.設[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[4.3]=4,[-4,3]=-5.化簡:$\frac{1}{[\sqrt{1×2}]×[\sqrt{2×3}]×[\sqrt{3×4}]}$+$\frac{1}{[\sqrt{2×3}]×[\sqrt{3×4}]×[\sqrt{4×5}]}$+…+$\frac{1}{[\sqrt{n×(n+1)}]×[\sqrt{(n+1)×(n+2)}]×[\sqrt{(n+2)×(n+3)}]}$(結果用n表示,其中n是大于0的整數(shù)).

分析 利用設[x]表示不超過x的最大整數(shù),依次化簡個根式,然后利用裂項相消法即可得結論.

解答 解:由題意,[x]表示不超過x的最大整數(shù),設n為正整數(shù),則$n<\sqrt{n({n+1})}<n+1$,于是,$[{\sqrt{n({n+1})}}]=n$,
∴$\frac{1}{{[\sqrt{n×(n+1)}]×[\sqrt{(n+1)×(n+2)}]×[\sqrt{(n+2)×(n+3)}]}}=\frac{1}{n×(n+1)×(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n×(n+1)}-\frac{1}{(n+1)×(n+2)})$,
∴原式=$\frac{1}{2}(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×(n+1)}-\frac{1}{(n+1)×(n+2)})$
=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)×(n+2)}$.

點評 本題考查了對定義的理解和裂項相消法的計算.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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