【題目】已知橢圓C: 的右焦點為F(1,0),且點(﹣1, )在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知動直線l過點F,且與橢圓C交于A,B兩點,試問x軸上是否存在定點Q,使得 恒成立?若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:由題意,c=1
∵點(﹣1, )在橢圓C上,∴根據(jù)橢圓的定義可得:2a= ,∴a=
∴b2=a2﹣c2=1,
∴橢圓C的標準方程為
(2)解:假設x軸上存在點Q(m,0),使得 恒成立
當直線l的斜率為0時,A( ,0),B(﹣ ,0),則 =﹣ ,∴ ,∴m= ①
當直線l的斜率不存在時, , ,則 =﹣ ,
∴
∴m= 或m= ②
由①②可得m= .
下面證明m= 時, 恒成立
當直線l的斜率為0時,結論成立;
當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)
直線方程代入橢圓方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
∴ =(x1﹣ ,y1)(x2﹣ ,y2)=(ty1﹣ )(ty2﹣ )+y1y2=(t2+1)y1y2﹣ t(y1+y2)+ = + =﹣
綜上,x軸上存在點Q( ,0),使得 恒成立
【解析】(1)利用橢圓的定義求出a的值,進而可求b的值,即可得到橢圓的標準方程;(2)先利用特殊位置,猜想點Q的坐標,再證明一般性也成立即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學的高一、高二、高三共有學生1350人,其中高一500人,高三比高二少50人,為了解該校學生健康狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查,在抽取的樣本中有高一學生120人,則該樣本中的高二學生人數(shù)為( )
A.80
B.96
C.108
D.110
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+ ﹣3(a∈R).
(1)當a=2時,解關于x的方程g(ex)=0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)求函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)當a=1時,記h(x)=f(x)g(x),是否存在整數(shù)λ,使得關于x的不等式2λ≥h(x)有解?若存在,請求出λ的最小值;若不存在,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931,ln3≈1.0986).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x.
(i) 當a=2時,滿足不等式f(x)>0的x的取值范圍為;
(ii) 若函數(shù)f(x)的圖象與x軸沒有交點,則實數(shù)a的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C: + =1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某程序框圖如圖所示,其中 ,若輸出的 ,則判斷框內(nèi)應填入的條件為( )
A.n<2017
B.n≤2017
C.n>2017
D.n≥2017
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=1過橢圓C: (a>b>0)的短軸端點,P,Q分別是圓O與橢圓C上任意兩點,且線段PQ長度的最大值為3. (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(0,t)作圓O的一條切線交橢圓C于M,N兩點,求△OMN的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校計劃面向高一年級1200名學生開設校本選修課程,為確保工作的順利實施,先按性別進行分層抽樣,抽取了180名學生對社會科學類,自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調(diào)查,其中男生有105人.在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人.
(Ⅰ)分別計算抽取的樣本中男生及女生選擇社會科學類的頻率,并以統(tǒng)計的頻率作為概率,估計實際選課中選擇社會科學類學生數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)抽取的180名學生的調(diào)查結果,完成下列列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關?
選擇自然科學類 | 選擇社會科學類 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
附: ,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
K0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2015·陜西)如圖,一橫截面為等腰梯形的水渠,因泥沙沉積,導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示),則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 .
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