Question

7．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x（0≤x≤390）的關(guān)系是$R（x）=-\frac{x^3}{9000}+400x，0≤x≤390$，則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是（　　）

• A． 300
• B． 250
• C． 200
• D． 100

Answer 1

分析 先根據(jù)“利潤=收入-成本”列出總利潤關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，求出當(dāng)0≤x≤390時(shí)的總利潤的最大值．

解答 解：由題意當(dāng)年產(chǎn)量為x時(shí)，總成本為20000+100x，
又總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是$R（x）=-\frac{x^3}{9000}+400x，0≤x≤390$，
所以總利潤Q（x）=-$\frac{{x}^{3}}{900}$+400x-20000-100x，0≤x≤390．即Q（x）=-$\frac{{x}^{3}}{900}$+300x-20000，0≤x≤390．
此時(shí)Q′（x）=-$\frac{{x}^{2}}{300}$+300，令Q′（x）=0得x=300，
由Q′（x）＜0得300＜x≤390，此時(shí)Q（x）是減函數(shù)，
由Q′（x）＞0得0＜x＜300，此時(shí)Q（x）是增函數(shù)，
所以當(dāng)0≤x≤390時(shí)，Q（x）_max=Q（300）=40000（元）；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式．先借助于“利潤=收入-成本”列出利潤函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得到得到函數(shù)在定義域上的最值．