Question

1．某空間幾何體ABCDEF的三視圖及直觀圖如圖所示

（1）求異面直線BD與EF所成角的大小
（2）求二面角D-BF-E的大小
（3）求該幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BD與EF所成角的大�。�
（2）求出平面BDF的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角D-BF-E的大�。�
（3）該幾何體ABCDEF的體積V=S_F-ABD+S_B-DCEF，由此能求出結果．

解答 解：（1）由空間幾何體ABCDEF的三視圖及直觀圖，
得ABCD是邊長為1的正方形，DF⊥面ABCD，CF⊥面ABCD，F(xiàn)D=2，F(xiàn)C=1，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標系，
D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，2），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
設異面直線BD與EF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴異面直線BD與EF所成角的大小為60°．
（2）$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），
設平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-a+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-a-b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，
∴二面角D-BF-E的大小為90°．
（3）該幾何體ABCDEF的體積：
V=S_F-ABD+S_B-DCEF
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×DF$+$\frac{1}{3}×{S}_{梯形DCEF}×BC$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×1×1$
=$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的大小的求法，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．