Question

1．設(shè)P：“關(guān)于x的不等式${x^2}-ax+a+\frac{5}{4}＞0$的解集為R”，q：“方程$\frac{x^2}{4a+7}+\frac{y^2}{a-3}=1$表示雙曲線”．
（1）若q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若q為真，則（4a+7）（a-3）＜0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{4a+7}+\frac{y^2}{a-3}=1$表示雙曲線，…（1分）
∴若q為真，則（4a+7）（a-3）＜0，…（3分）
解得$-\frac{7}{4}＜a＜3$…（4分）
（2）若p為真，則${a^2}-4（{a+\frac{5}{4}}）＜0$，…（5分）
即a²-4a-5＜0，解得-1＜a＜5…（6分）
∵p∧q為假，p∨q為真，
∴p，q一真一假，…（7分）
若p真q假，則3≤a＜5；…（8分）
若p假q真，則$-\frac{7}{4}＜a≤-1$；…（10分）
綜上，a的取值范圍是$（{-\frac{7}{4}，-1}]∪[{3，5}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，雙曲線的性質(zhì)，不等式恒成立，難度中檔．