Question

17．若a∈R，b∈R，且a＞0，b＞0，2c＞a+b．
（1）綜合法證明：c²＞ab；
（2）分析法證明：c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可證明結(jié)論；
（2）是一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又待證的不等式即|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，也不具備使用基本不等式的特點(diǎn)，而用分析法較合適．

解答 證明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴2c＞a+b≥2$\sqrt{ab}$．
∴c＞$\sqrt{ab}$＞0．故c²＞ab．
（2）要證原不等式成立，只要證-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a-c＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，
即只要證明|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，
即證（a-c）²＜c²-ab，只需證a（a+b-2c）＜0．
∵a＞0，2c＞a+b，
∴a（a+b-2c）＜0成立．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分析法，屬于中檔題．