5.已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,前n項和為Sn,S5=25,S1,S2,S4成等比數(shù)列.
(1)求an與Sn;
(2)設${b_n}=\frac{2n+1}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$,求證:b1+b2+b3+…+bn<1.

分析 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由S5=25得a1+2d=5,由S1,S2,S4成等比數(shù)列,得d=2a1,從而得a1=1,d=2,由此能求出an與Sn
(2)由${b_n}=\frac{2n+1}{{{n^2}{{(n+1)}^2}}}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}}$,利用裂項求和法能證明b1+b2+b3+…+bn<1.

解答 解:(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,
則由S5=25可得a3=5,得a1+2d=5…①
又S1,S2,S4成等比數(shù)列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,
所以${(2{a_1}+d)^2}={a_1}(4{a_1}+6d)$,整理得$2{a_1}d={d^2}$,
因為d≠0,所以d=2a1…②
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=2,
所以${a_n}=1+2(n-1)=2n-1,{S_n}=\frac{n(1+2n-1)}{2}={n^2}$.
證明:(2)由(1)得${b_n}=\frac{2n+1}{{{n^2}{{(n+1)}^2}}}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}}$,
所以b1+b2+b3+…+bn
=$(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2})+(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})+(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2})$$+…+(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}})$
=$1-\frac{1}{{{{(n+1)}^2}}}<1$.
∴b1+b2+b3+…+bn<1.

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式,考查數(shù)列的前n項和小于1的證明,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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