Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，E是棱PC上一點.

（1）證明：平面ADE⊥平面PAB.

（2）若PE＝4EC，O為點E在平面PAB上的投影，，AB＝AP＝2CD＝2，求四棱錐P－ADEO的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD，又AB⊥AD,則AD⊥平面PAB即可證得結論;

(2) 取AB的中點F可得CF⊥AB,進而有CF⊥面PAB,即EO∥CF,可知O點在線段PF上,由已知可得PO＝4OF即,因為,則，因為,代入即可得出結果.

（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AD，

又AB⊥AD，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，

又平面ADE，所以平面ADE⊥平面PAB；

（2）解：取AB的中點F，

所以CF∥AD，則CF⊥AB，

又PA⊥CF，PA∩AB＝A，所以CF⊥面PAB，

則EO∥CF，即O點在線段PF上，

又PE＝4EC，所以PO＝4OF，，

則，，

，.