Question

10．如圖，二面角α-AB-β的大小為60⁰，棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，則直線AB與CD所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{17}$
• C． $\frac{{\sqrt{221}}}{17}$
• D． $\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，求出CD=2$\sqrt{17}$，在平面α內(nèi)過B作BE⊥AB，過C作CE∥AB，交BE于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則∠DCE是直線AB與CD所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出直線AB與CD所成角的余弦值．

解答 解：二面角α-AB-β的大小為60⁰，棱上有A、B兩點(diǎn)，
直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，
AB=4，AC=6，BD=8，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CD}$²=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{BD}$|•cos120°=36+16+64-2×6×8×$\frac{1}{2}$=68，
∴CD=2$\sqrt{17}$，
在平面α內(nèi)過B作BE⊥AB，過C作CE∥AB，交BE于點(diǎn)E，連結(jié)DE，
則四邊形ABEC是長方形，∠DBC=60°，BE=AC=6，CE=AB=4，
且∠DCE是直線AB與CD所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}+B{E}^{2}-2×BD×BE×cos60°}$=$\sqrt{64+36-2×8×6×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cos∠DCE=$\frac{C{E}^{2}+C{D}^{2}-D{E}^{2}}{2×CE×CD}$=$\frac{16+68-52}{2×4×2\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∴直線AB與CD所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審，注意空間思維能力的培養(yǎng)．