Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）若，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題解析：（1）求導(dǎo) ，判斷其符號，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，又，所以，分類討論

（ⅰ）當(dāng)時，成立．

（ⅱ）當(dāng)時，

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，可知時，．（*）

由（*）式可得，

令，求導(dǎo)

由（*）式可得 ，

令 ，得在上單調(diào)遞增，研究函數(shù)的性質(zhì)可知

存在 使得，即時，，

即時，，單調(diào)遞減，又，所以，

即時，，與矛盾．

綜上，滿足條件的的取值范圍是．

試題解析：

（1），

因為，所以，于是

（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）．

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

（2）由（Ⅰ）得在上單調(diào)遞增，又，所以，

（ⅰ）當(dāng)時，成立．

（ⅱ）當(dāng)時，

令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，所以，

故時，．（*）

由（*）式可得，

令，則

由（*）式可得，

令，得在上單調(diào)遞增，

又，，所以存在 使得，即時，，

所以時，，單調(diào)遞減，又，所以，

即時，，與矛盾．

綜上，滿足條件的的取值范圍是．