Question

17．在平面直角坐標系xOy中，一動圓經過點（$\frac{1}{2}$，0），且與直線x=-$\frac{1}{2}$相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設P是曲線E上的動點，點B、C在y軸上，△PBC的內切圓的方程為（x-1）²+y²=1，求△PBC面積的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可知圓心到（$\frac{1}{2}$，0）的距離等于到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離，由拋物線的定義可得到拋物線方程；
（2）設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨設b＞c，直線PB的方程為y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$x，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結合韋達定理，以及三角形的面積公式，運用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（1）由題意可知圓心到（$\frac{1}{2}$，0）的距離等于到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離，由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程：y²=2x．…（4分）
（2）設P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨設b＞c，
直線PB的方程為y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$x，
化簡得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，又圓心（1，0）到直線PB的距離為1，
故$\frac{|{y}_{0}-b+{x}_{0}b|}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+（-{x}_{0}）^{2}}}$=1，即（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²b²，
不難發(fā)現x₀＞2，上式又可化為（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
所以b，c可以看做關于t的一元二次方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個實數根，
則b+c=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
所以（b-c）²=（b+c）²-4bc=$\frac{4（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}）}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
因為點P（x₀，y₀）是拋物線Γ上的動點，所以y₀²=2x₀，
則x₀＞2，所以b-c=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$．
所以S_△PBC=$\frac{1}{2}$（b-c）x₀=x₀-2+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥2•2+4=8，
當且僅當x₀=4時取等號，所以△PBC面積最小值為8．此時P點坐標為$（4，±2\sqrt{2}）$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，主要考查定義法和方程的運用，同時考查直線和拋物線方程聯立，運用韋達定理，直線和圓相切的條件：d=r，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．