Question

10．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A₁B⊥AC₁．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面ABC₁；
（2）若直線AA₁與底面ABC所成的角為60°，求直線AA₁與平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BC⊥側(cè)面ACC₁A₁，所以AC₁⊥BC，再由A₁B⊥AC₁，得到AC₁⊥面A₁BC，由此能證明面ABC₁⊥面A₁BC．
（2）利用等體積方法，求出A₁到平面ABC₁的距離，即可求直線AA₁與平面ABC₁所成角的正弦值．

解答 （1）證明：因?yàn)榈酌鍭BC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC
因?yàn)閭?cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，側(cè)面ACC₁A₁∩底面ABC=AC，
所以BC⊥側(cè)面ACC₁A₁，所以AC₁⊥BC，
又A₁B⊥AC₁，而A₁B∩BC=B，
所以AC₁⊥面A₁BC，
又AC₁?面ABC₁，所以面ABC₁⊥面A₁BC；
（2）解：由題意，∠A₁AC=60°，四邊形ACC₁A₁是菱形．
設(shè)AC=2，則AB=2$\sqrt{2}$，AC₁=2$\sqrt{3}$，BC₁=2$\sqrt{2}$，∴${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{8-3}$=$\sqrt{10}$
設(shè)A₁到平面ABC₁的距離為h，則$\frac{1}{3}×\sqrt{10}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
∴直線AA₁與平面ABC₁所成角的正弦值=$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．