Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}-3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_2n-$\frac{3}{2}$，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n=$\sum_{k=t}^{n}{a}_{k}$，求滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用等比數(shù)列的定義結(jié)合已知數(shù)列遞推式證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_2n，得到a_2n-1，進(jìn)一步求出S_2n，再由S_2n-1=S_2n-a_2n得到S_2n-1，由函數(shù)的單調(diào)性求出滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)$_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}$，
∵$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{{a}_{2n+2}-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n+1}+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}（{a}_{2n}-6n）+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n}-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}是以${a}_{2}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，$_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n}$，即${a}_{2n}=-\frac{1}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}+\frac{3}{2}$，
由${a}_{2n}=\frac{1}{3}{a}_{2n-1}+（2n-1）$，得${a}_{2n-1}=3{a}_{2n}-3（2n-1）=-\frac{1}{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}-6n+\frac{15}{2}$．
∴${a}_{2n-1}+{a}_{2n}=-\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}）^{n-1}+（\frac{1}{3}）^{n}]-6n+9=-2$$•（\frac{1}{3}）^{n}-6n+9$．
S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=$-2[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]-6（1+2+…+n）+9n$
=$-2•\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}-6•\frac{n（n+1）}{2}+9n$=$（\frac{1}{3}）^{n}-1-3{n}^{2}+6n=（\frac{1}{3}）^{n}-3（n-1）^{2}+2$．
顯然，當(dāng)n∈N^*時(shí)，{S_2n}單調(diào)遞減，
又當(dāng)n=1時(shí)，${S}_{2}=\frac{7}{3}$＞0，當(dāng)n=2時(shí)，${S}_{4}=-\frac{8}{9}$＜0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_2n＜0；
${S}_{2n-1}={S}_{2n}-{a}_{2n}=\frac{3}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}-\frac{5}{2}-3{n}^{2}+6n$，
同理當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，S_2n-1＞0．
綜上，滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n為1和2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的分組求和與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．