【題目】已知函數(shù)。
(1)若函數(shù)在處的切線垂直于軸,求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅲ)實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【解析】
試題此題考查導(dǎo)數(shù)求解的綜合問題(Ⅰ)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),以及在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù),求解參數(shù);(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性的方法,第一步,根據(jù)上一問得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù),將導(dǎo)數(shù)化簡,第二步,求解,和的不等式,就是對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)的定義域;(Ⅲ)處理此類不等式恒成立的問題,有兩種方程,第一種,反解參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值,同樣是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定最小值;第二種,轉(zhuǎn)化為求,所以方法就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論函數(shù)的極值點(diǎn)的存在問題,確定單調(diào)性,求函數(shù)的最小值大于0.
試題解析:(Ⅰ).
由題意得,即4分
(Ⅱ)時(shí),,定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)或時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. 8分
(Ⅲ)解法一:由,得在時(shí)恒成立,
令,則-10
令,則
所以在為增函數(shù),.
故,故在為增函數(shù).,
所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍為. 12分
解法二:
令,則,
(Ⅰ)當(dāng),即時(shí),恒成立,
因?yàn)?/span>,所以在上單調(diào)遞增,
,即,所以;
(Ⅱ)當(dāng),即時(shí),恒成立,
因?yàn)?/span>,所以在上單調(diào)遞增,
,即,所以;
(Ⅲ)當(dāng),即或時(shí),
方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
若,兩個(gè)根,
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,
則,即,所以;
若,的兩個(gè)根,
因?yàn)?/span>,且在是連續(xù)不斷的函數(shù)
所以總存在,使得,不滿足題意.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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【題目】如圖所示,用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地,以墻為一邊,并用平行于一邊的籬笆隔開.
(1)設(shè)場地面積為y,垂直于墻的邊長為x,試用解析式將y表示成x的函數(shù),并確定這個(gè)函數(shù)的定義域;
(2)怎樣圍才能使得場地的面積最大?最大面積是多少?
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【題目】如圖,在等腰直角中,,,點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ) 若,求的長;
(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且,問:當(dāng)取何值時(shí),的面積最?并求出面積的最小值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;
(2)直線的極坐標(biāo)方程為,若與的公共點(diǎn)為,且是曲線的中心,求的面積.
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【題目】某教育主管部門到一所中學(xué)檢查高三年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況,從中抽取了名學(xué)生的體質(zhì)測試成績,得到的頻率分布直方圖如圖1所示,樣本中前三組學(xué)生的原始成績按性別分類所得的莖葉圖如圖2所示.
(Ⅰ)求, , 的值;
(Ⅱ)估計(jì)該校高三學(xué)生體質(zhì)測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)若從成績?cè)?/span>的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人重新進(jìn)行測試,求至少有一名男生的概率.
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【題目】在空間中,下列命題正確的是
A.如果一個(gè)角的兩邊和另一角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等
B.兩條異面直線所成的有的范圍是
C.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行
D.如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行
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【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,橢圓與直線相切于點(diǎn).
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(2)若直線: 與橢圓相交于、兩點(diǎn)(, 不是長軸端點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn),求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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