Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），若橢圓C上的一動點到右焦點的最短距離為2-$\sqrt{2}$，且右焦點到直線x=$\frac{a}{c}$的距離等于短半軸的長．已知點P（4，0），過P點的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；         
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C上的一動點到右焦點的最短距離為2-$\sqrt{2}$，且右焦點到直線x=$\frac{a}{c}$的距離等于短半軸的長．已知點P（4，0），列出方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；         
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程的方程組，設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，代入向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意橢圓C上的一動點到右焦點的最短距離為2-$\sqrt{2}$，且右焦點到直線x=$\frac{a}{c}$的距離等于短半軸的長．已知點P（4，0），知$\left\{\begin{array}{l}a-c=2-\sqrt{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
故橢圓C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）由題意知直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=k（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．   ①
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}△={（-16{k^2}）^2}-4（2{k^2}+1）（32{k^2}-4）=16-96{k^2}＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{32{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}\\{y_1}{y_2}={k^2}（{x_1}-4）（{x_2}-4）=\frac{{12{k^2}}}{{2{k^2}+1}}\end{array}\right.$
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{44{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}=22-\frac{26}{{2{k^2}+1}}$，
∵$0≤{k^2}＜\frac{1}{6}$
即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}∈[-4，\frac{5}{2}）$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．