Question

17．設f（x）=$\sqrt{10sinx-2}-\sqrt{5cosx-3}$
（1）若銳角θ滿足tan2θ=$\frac{24}{7}$，問：θ是否為方程f（x）=1的解？為什么？
（2）求方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，+∞）上的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角θ滿足tan2θ=$\frac{24}{7}$，求出sinθ和cosθ的值，代入函數(shù)f（x）是否等于1即可判斷．
（2）由方程f（x）=1，利用（1）的結論求解即可．

解答 解：（1）tan2θ=$\frac{24}{7}$=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$，
即12tan²θ+7tanθ-12=0，
解得：tanθ=$\frac{3}{4}$或$-\frac{4}{3}$，
∵θ是銳角，
可得tanθ=$\frac{3}{4}$．即$\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{3}{4}$
那么：sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$．
∴f（θ）=$\sqrt{10×\frac{3}{5}-2}$-$\sqrt{5×\frac{4}{5}-3}$=1，
故得銳角θ滿足tan2θ=$\frac{24}{7}$時，θ是方程f（x）=1的解；
（2）由（1）可知，tanx=$\frac{3}{4}$，x是方程f（x）=1的解．
則x=arctan$\frac{3}{4}$，
∴方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，+∞）上的解集為{x|x=arctan$\frac{3}{4}$+kπ，k∈Z}．

點評 本題考察了三角函數(shù)的化簡計算能力和二倍角公式的運用能力．考查思想的轉換，屬于中檔題．