Question

15．設(shè)直線3x+4y-5=0與圓C₁：x²+y²=9交于A，B兩點(diǎn)，若圓C₂的圓心在線段AB上，且圓C₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧AB上，則圓C₂半徑的最大值是2．

Answer 1

分析 先根據(jù)圓C₁的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑R的值，找出圓C₂的半徑的最大時(shí)的情況：當(dāng)圓c₂的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓c₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧AB上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C₂的半徑r的最大，利用距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d，然后根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C₂的半徑最大值．

解答 解：由圓C₁：x²+y²=9，可得圓心O（0，0），半徑R=3
如圖，當(dāng)圓c₂的圓心Q為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，圓c₂與圓C₁相切，切點(diǎn)在圓C₁的劣弧AB上，設(shè)切點(diǎn)為P，此時(shí)圓C₂的半徑r的最大．
則兩圓心之間的距離OQ=d=$\frac{5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=1$．
因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以圓c₂的最大半徑r=3-d=3-1=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握兩圓內(nèi)切時(shí)兩半徑所滿足的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．