20.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB,則△ABC中最大角的度數(shù)等于( 。
A.90°B.75°C.135°D.105°

分析 由已知利用正弦定理可得:a+c=$\sqrt{2}$b,兩邊平方可得:a2+c2-b2=b2-2ac,又利用基本不等式可求b2≥2ac,可求B為最大角,進(jìn)而利用余弦定理可求cosB≥0,根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可求B的最大值.

解答 解:∵sinA+sinC=$\sqrt{2}$sinB,
∴由正弦定理可得:a+c=$\sqrt{2}$b,
∴兩邊平方可得:a2+c2+2ac=2b2,可得:a2+c2-b2=b2-2ac,
∵a2+c2=2b2-2ac≥2ac,可得:b2≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立,
∴B為最大角,由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{^{2}-2ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-2ac}{2ac}$=0,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立,
由B∈(0°,180°),
可求Bmax=90°.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,基本不等式,余弦定理,余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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A.B.C.D.

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