分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論x的范圍,求出函數(shù)的最小值即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)根據(jù)反證法假設(shè)x1=b>1,得到矛盾,從而證出結(jié)論即可.
解答 解:(1)由條件可知f'(1)=0,解得a=0.
檢驗(yàn):當(dāng)a=0時(shí),$f'(x)=\frac{x-1}{x^2}$滿(mǎn)足函數(shù)f(x)在x=1處取極值,
∴a=0,
當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時(shí)f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
∴f(x)min=f(1)=1.
(2)$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+a$.
由函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在極值題意可知f'(x)=0在區(qū)間(2,3)上有變號(hào)零點(diǎn).
設(shè)$\frac{1}{x}=t$,則當(dāng)x∈(2,3)時(shí),$t∈(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$,
∵函數(shù)$g(t)=t-{t^2}+a=-{(t-\frac{1}{2})^2}+\frac{1}{4}+a$在區(qū)間$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$單調(diào)遞增,
∴當(dāng)$t∈(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$時(shí),$g(t)∈(\frac{2}{9}+a,\frac{1}{4}+a)$,
∴$\frac{2}{9}+a<0<\frac{1}{4}+a$,
∴滿(mǎn)足條件的$a∈(-\frac{1}{4},-\frac{2}{9})$.
(3)反證法:假設(shè)x1=b>1,∵xn>0,∴$\frac{x_n}>0$,且$0<\frac{1}<1$,
∴由(1)知$ln\frac{x_n}+\frac{x_n}≥1$,
又∵$ln{x_n}+\frac{1}{{{x_{n+1}}}}<1$,
∴$ln\frac{x_n}+\frac{x_n}≥1>ln{x_n}+\frac{1}{{{x_{n+1}}}}$,
即$\frac{x_n}>lnb+\frac{1}{{{x_{n+1}}}}$,
∴$1=\frac{x_1}>lnb+\frac{1}{x_2}>lnb+\frac{1}(lnb+\frac{1}{x_3})>lnb+\frac{lnb}+\frac{1}{b^2}(lnb+\frac{1}{x_4})>…>$
$(1+\frac{1}+\frac{1}{b^2}+…+\frac{1}{b^n})lnb+\frac{1}{b_n}•\frac{1}{{{x_{n+2}}}}+…$$>(1+\frac{1}+\frac{1}{b^2}+…+\frac{1}{b^n}+…)lnb$=$\frac{1}{{1-\frac{1}}}lnb$,
即$\frac{1}{{1-\frac{1}}}lnb<1$,
∵$0<1-\frac{1}<1$,
∴$lnb<1-\frac{1}$,即$lnb+\frac{1}<1$,
而由(1)當(dāng)b>1時(shí),$lnb+\frac{1}>1$,∴矛盾,
故b≤1,即x1≤1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)列問(wèn)題,考查反證法的應(yīng)用,是一道綜合題.
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A. | m>9 | B. | m≥9 | C. | m≥7 | D. | m>7 |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2 | C. | 1+$\sqrt{2}$ | D. | 2+$\sqrt{2}$ |
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A. | $\sqrt{2}-1$ | B. | $3-2\sqrt{2}$ | C. | $3+2\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}+1$ |
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A. | $y=±\sqrt{2}x$ | B. | y=±2x | C. | $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$ | D. | $y=±\frac{1}{2}x$ |
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A. | 90° | B. | 75° | C. | 135° | D. | 105° |
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