【題目】已知M是橢圓C:+=1(a>b>0)上一點(diǎn),F1F2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn),且|F1F2|=2,∠F1MF2=,△F1MF2的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l過橢圓C右焦點(diǎn)F2,交該橢圓于AB兩點(diǎn),AB中點(diǎn)為Q,射線OQ交橢圓于P,記△AOQ的面積為S1,△BPQ的面積為S2,若,求直線l的方程.
【答案】(1)+=1;(2).
【解析】
(1)根據(jù) |F1F2|=2,得到c=1,設(shè)根據(jù)∠F1MF2=,△F1MF2的面積為,,得到,然后在中,由余弦定理結(jié)合橢圓的定義解得 ,求得即可.
(2)根據(jù),由,得到,從而,當(dāng)AB斜率不存在時,,不合題意,當(dāng)AB斜率存在時,設(shè)直線方程為,設(shè)點(diǎn),則,兩式作差得到,故設(shè)直線OP的方程為:,分別聯(lián)立橢圓方程和直線AB的方程,求得點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),由求解.
(1)因?yàn)?/span> |F1F2|=2,
所以c=1,設(shè)
,
因?yàn)椤?/span>F1MF2=,△F1MF2的面積為,
所以,
所以,
在中,由余弦定理得:,
即,
解得,
所以,
所以橢圓C的方程是+=1.
(2)因?yàn)?/span>,
所以,
所以,
所以,
當(dāng)AB斜率不存在時,,不合題意,
當(dāng)AB斜率存在時,設(shè)直線方程為,
設(shè)點(diǎn),
則,
兩式作差得:,即,
故直線OP的方程為:,
聯(lián)立,解得,
聯(lián)立,解得,
因?yàn)?/span>,
所以,
即,
解得:,
所以直線AB的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線C:上的一點(diǎn),過P作互相垂直的直線PA,PB.與拋物線C的另一交點(diǎn)分別是A,B.
(1)若直線AB的斜率為,求AB方程;
(2)設(shè),當(dāng)時,求△PAB的面積.
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【題目】某景區(qū)平面圖如圖1所示,為邊界上的點(diǎn).已知邊界是一段拋物線,其余邊界均為線段,且,拋物線頂點(diǎn)到的距離.以所在直線為軸,所在直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求邊界所在拋物線的解析式;
(2)如圖2,該景區(qū)管理處欲在區(qū)域內(nèi)圍成一個矩形場地,使得點(diǎn)在邊界上,點(diǎn)在邊界上,試確定點(diǎn)的位置,使得矩形的周長最大,并求出最大周長.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,,,且的離心率為,拋物線,點(diǎn)在上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作的切線,若,直線與交于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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【題目】北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統(tǒng)的主色包括霞光紅迎春黃天霽藍(lán)長城灰瑞雪白;間色包括天青梅紅竹綠冰藍(lán)吉柿;輔助色包括墨金銀.若各賽事紀(jì)念品的色彩設(shè)計(jì)要求:主色至少一種至多兩種,間色兩種輔助色一種,則某個紀(jì)念品的色彩搭配中包含有瑞雪白冰藍(lán)銀色這三種顏色的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的普通方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中.以坐標(biāo)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn),的極坐標(biāo)方程為,直線與的交點(diǎn)分別為,.當(dāng)為等腰直角三角形時,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)判斷并說明函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).若函數(shù)所有零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi),求的最小值.
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【題目】記無窮數(shù)列的前n項(xiàng),,…,的最大項(xiàng)為,第n項(xiàng)之后的各項(xiàng),,…的最小項(xiàng)為,.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,寫出,,;
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,判斷是否為等差數(shù)列,若是,求出公差;若不是,請說明理由;
(3)若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列,求證:是等差數(shù)列.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)(),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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