17.已知二次函數(shù)f(x)=x2-mx+1,
(1)若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+(2m-1)x-9,且?m∈[-1,3],都有g(shù)(x)≤0恒成立,求實數(shù)x的取值范圍;
(3)若函數(shù)h(x)=f(x)-(1-m)x2+2x,求函數(shù)y=h(x)在x∈[-1,1]的最小值H(m).

分析 (1)偶函數(shù)f(-x)=f(x)⇒x2+mx+1=x2-mx+1,可求實數(shù)m的取值范圍;
(2)?m∈[-1,3],g(x)=f(x)+(2m-1)x-9=x2+(m-1)x-8≤0恒成立?$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+2x-8≤0}\end{array}\right.$,解之即得實數(shù)x的取值范圍;
(3)若函數(shù)h(x)=f(x)-(1-m)x2+2x=mx2+(2-m)x+1,分$0<m≤\frac{2}{3}$、m>$\frac{2}{3}$、當m<0及m=0四類討論,即可求得函數(shù)y=h(x)在x∈[-1,1]的最小值H(m).

解答 解:(1)函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)
∴f(-x)=f(x)
∴x2+mx+1=x2-mx+1,∴2mx=0,
∴m=0.…4分
(2)g(x)=f(x)+(2m-1)x-9=x2+(m-1)x-8,
∵?m∈[-1,3],都有g(shù)(x)≤0恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+2x-8≤0}\end{array}\right.$,…7分
∴實數(shù)x的取值范圍[-2,2]…10分
(3)h(x)=mx2+(2-m)x+1
①當$0<m≤\frac{2}{3}$時,函數(shù)y=h(x)的對稱軸$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}<-1$,
∴函數(shù)y=h(x)在x∈[-1,1]的最小值H(m)=h(-1)=2m-1;
②當m>$\frac{2}{3}$時,函數(shù)y=h(x)的對稱軸$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}∈[{-1,1}]$,∴函數(shù)y=h(x)在x∈[-1,1]的最小值$H(m)=h(\frac{m-2}{2m})=2-\frac{m}{4}-\frac{1}{m}$…13分
③當m<0時,函數(shù)y=h(x)的對稱軸$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}>0$,∴函數(shù)y=h(x)在x∈[-1,1]的最小值H(m)=h(-1)=2m-1
④當m=0時,函數(shù)y=h(x)=2x+1∴函數(shù)y=h(x)在x∈[-1,1]的最小值H(m)=h(-1)=-1
綜上:$H(m)=\left\{\begin{array}{l}2m-1,m≤\frac{2}{3}\\ 2-\frac{m}{4}-\frac{1}{m},m>\frac{2}{3}\end{array}\right.$…16分

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查二次函數(shù)的性質(zhì),突出考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運用,屬于難題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

7.3x+4y+5z=10,x2+y2+z2的最小值為2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.把正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排序,則從2014到2016箭頭方向依次為(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx
(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè)g(x)=ex-x-1,當a<0時,若對任意x1∈(0,+∞),x2∈R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

12.已知四面體ABCD的頂點都在球O的球面上,AD=AC=BD=2,CD=2$\sqrt{2}$,∠BDC=90°,平面ADC⊥平面BDC,則球O的體積為4$\sqrt{3}$π.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=4x+$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$,(x>0),記m=fmin(x);
(1)求m;
(2)解關(guān)于x的不等式|x-2|+|x-1|≥m.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

9.若不等式$\frac{4x+1}{x+2}$<0和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,則a、b的值為(  )
A.a=-8,b=-10B.a=-4,b=-9C.a=-1,b=9D.a=-1,b=2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.為了解1200名學生對學校某項教改試驗的意見,打算從中抽取一個容量為30的樣本,考慮采用系統(tǒng)抽樣,則分段間隔為40.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.已知f(x)=2x-2-x,a=($\frac{7}{9}$)${\;}^{\frac{1}{2}}$,b=($\frac{9}{7}$)${\;}^{\frac{1}{3}}$,c=log2$\frac{7}{9}$,則f(a),f(b),f(c)的大小順序為( 。
A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案