Question

7．設函數(shù)f（x）=ln（x-1）+$\frac{2a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x＞2，xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的定義域，求導，根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，利用△≤0，再對a分類討論即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，等價于f（x）-a＞0，構造輔助函數(shù)，根據(jù)（Ⅰ）討論a的取值，判斷f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題易知函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞），
∴$f'（x）=\frac{1}{x-1}-\frac{2a}{x^2}=\frac{{{x^2}-2ax+2a}}{{{x^2}（x-1）}}$，…（2分）
設g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①當△≤0，即0≤a≤2時，g（x）≥0，
∴f'（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，…（3分）
②當a＜0時，g（x）的對稱軸x=a，當x＞1時，g（x）＞g（1）＞0，
∴g（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
③當a＞2時，設x₁，x₂（x1＜x2）是方程x²-2ax+2a=0的兩個根，
則x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$＞1，x₂=a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
當1＜x＜x₁或x＞x₂時，f′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上增函數(shù)，…（4分）
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是減函數(shù)；…（5分）
綜合以上可知：當a≤2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
當a＞2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{1，a-\sqrt{{a^2}-2a}}），（{a+\sqrt{{a^2}-2a}，+∞}）$，
單調(diào)減區(qū)間為$（{a-\sqrt{{a^2}-2a}，a+\sqrt{{a^2}-2a}}）$； …（6分）
（Ⅱ）當x＞2時，$xln（{x-1}）＞a（{x-2}）?ln（{x-1}）-a+\frac{2a}{x}=f（x）-a＞0$，…（7分）
令h（x）=f（x）-a，由（Ⅰ）知：①當a≤2時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）在（2，+∞）上增函數(shù)，
∵當x＞2時，h（x）＞h（2）=0，上式成立；
當a＞2時，f（x）在（a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）是減函數(shù)，
∴h（x）在（2，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）是減函數(shù)，
x∈（2，a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$）時，h（x）＜h（2）=0，上式不成立，
綜上，a的取值范圍是（-∞，2]．…（12分）

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題綜合應用，關鍵是通過分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會轉化利用已證的結論解決問題，屬于難題．