Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²cosθ+

3

16

cosθ其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤2π．
（1）當(dāng)cosθ=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（2）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
（3）若對(duì)（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）（其中a＜1）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)cosθ=0時(shí)，求出f（x），求出導(dǎo)數(shù)，即可判斷單調(diào)性和極值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，判斷極小值，解大于0的不等式，即可得到；
（3）由（2）知f（x）在區(qū)間(-∞，0]與[

cosθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)，由區(qū)間的包含關(guān)系得到a的不等式，解出即可．

解答： 解：（1）當(dāng)cosθ=0時(shí)，f（x）=4x³，f′（x）=12x²≥0，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故無極值．
（2）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得x1=0，x2=

cosθ

2

．
當(dāng)cosθ＞0時(shí)容易判斷f（x）在(-∞，0]，[

cosθ

2

，+∞)上是增函數(shù)，在[0，

cosθ

2

]上是減函數(shù)，
故f（x）在x=

cosθ

2

處取得極小值f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

3

16

cosθ．
由f(

cosθ

2

)＞0，即-

1

4

cos3θ+

3

16

cosθ＞0，可得0＜cosθ＜

3

2

，由于0≤θ≤2π，
故

π

6

＜θ＜

π

2

或

3π

2

＜θ＜

11π

6

．
同理，可知當(dāng)cosθ＜0時(shí)，f（x）在x=0處取極小值f（0）=

3

16

cosθ＞0，即cosθ＞0，與cosθ＜0矛盾，
所以當(dāng)cosθ＜0時(shí)，f（x）的極小值不會(huì)大于零．
綜上，要使函數(shù)f（x）在R上的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為(

π

6

，

π

2

)∪(

3π

2

，

11π

6

)
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，0]與[

cosθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)：
函數(shù)在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，則a需滿足不等式a≤0或2a-1≥

cosθ

2

（其中θ∈(

π

6

，

π

2

)∪(

3π

2

，

11π

6

)時(shí)，0＜cosθ＜

3

2

）從而可以解得a≤0或

4+ 3

8

≤a＜1，即a的取值范圍是(-∞，0]∪[

4+ 3

8

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查三角不等式的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．