Question

7．已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|5＜x＜10}，C={x|ax+1＞0}．
（Ⅰ）求A∪B，（∁_RA）∩B；
（Ⅱ）若A∩C=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求A∪B，（∁_RA）∩B；
（Ⅱ）根據(jù)A∩C=A，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵集合A={x|1≤x＜6}，
則∁_RA={x|x＜1或x≥6}
∵B={x|5＜x＜10}，
則A∪B={x|1≤x＜10}，
（∁_RA）∩B={x|10＞x≥6}
（Ⅱ）C={x|ax+1＞0}．
∵A∩C=A，
∴A⊆C，
當(dāng)C=∅時(shí)，即ax+1＞0無(wú)解，此時(shí)a=0，滿足題意
當(dāng)C≠∅時(shí)，即ax+1＞0有解，①當(dāng)a＞0，可得：$x＞-\frac{1}{a}$，
要使C⊆A，則需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{1}{a}＜1}\end{array}\right.$，解得：a＞0．
②當(dāng)a＜0，可得：$x＜-\frac{1}{a}$，
要使C⊆A，則需$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{1}{a}≥6}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{1}{6}≤a＜0$
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$-\frac{1}{6}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本運(yùn)算和討論的思想．屬于中檔題．