8.已知函數(shù)f(x)=ax2-2lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=e處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)若x∈(0,e],求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ) 設a>$\frac{1}{{e}^{2}}$,g(x)=-5+ln$\frac{x}{a}$,?x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)先求導,再根據(jù)f(x)在x=e處取得極值,求出a的值,
(Ⅱ)先求導,再分類討論,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)?x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)-g(x2)|<9成立,分別求出f(x)min,g(x)max,故由題設知$\left\{\begin{array}{l}{(1+lna)-(-4-lna)<9}\\{a>\frac{1}{{e}^{2}}}\end{array}\right.$,即可求得實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ) f′(x)=2ax-$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-2}{x}$  由已知f′(e)=2ae-$\frac{2}{e}$=0,解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$.
經(jīng)檢驗,a=$\frac{1}{{e}^{2}}$符合題意.            
(Ⅱ) $f'(x)=2ax-\frac{2}{x}=\frac{{2a{x^2}-2}}{x}$
1)當a≤0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是減函數(shù).
2)當a>0時,$f'(x)=\frac{{2a(x+\frac{{\sqrt{a}}}{a})(x-\frac{{\sqrt{a}}}{a})}}{x}$
①若$\frac{\sqrt{a}}{a}$<e,即$a>\frac{1}{e^2}$,則f(x)在(0,$\frac{\sqrt{a}}{a}$)上是減函數(shù),在($\frac{\sqrt{a}}{a}$,e]上是增函數(shù);
②若$\frac{\sqrt{a}}{a}$≥e,即0<a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$,則f(x)在[0,e]上是減函數(shù).
綜上所述,當a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$時,f(x)的減區(qū)間是(0,e],
當a>$\frac{1}{{a}^{2}}$時,f(x)的減區(qū)間是$(0,\frac{{\sqrt{a}}}{a})$,增區(qū)間是$(\frac{{\sqrt{a}}}{a},e]$.
(Ⅲ)當$a>\frac{1}{e^2}$時,由(Ⅱ)知f(x)的最小值是f($\frac{\sqrt{a}}{a}$)=1+lna;
易知g(x)在(0,e]上的最大值是g(e)=-4-lna;
注意到(1+lna)-(-4-lna)=5+2lna>0,
故由題設知$\left\{\begin{array}{l}{(1+lna)-(-4-lna)<9}\\{a>\frac{1}{{e}^{2}}}\end{array}\right.$,
解得$\frac{1}{{e}^{2}}$<a<e2
故a的取值范圍是($\frac{1}{{e}^{2}}$,e2

點評 本題考查學生會利用導求函數(shù)的最值,會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握不等式恒成立時所滿足的條件,是一道中檔題.

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