(本小題滿分14分)
如圖,四邊形中(圖1),的中點(diǎn),,將(圖1)沿直線折起,使二面角(如圖2)
(1)求證:平面
(2)求異面直線所成角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
解:
(1)  如圖取BD中點(diǎn)M,連接AM,ME。因 ……1分
, 滿足:,
所以是BC為斜邊的直角三角形,,                          
的中點(diǎn),所以ME為的中位線 ,
,                                             …… 2分
是二面角的平面角=                 ……3分  
,且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線
平面AEM                    ……4分
,為等腰直角三角形
                                ……  6分
         ……  7分
(2)如圖,以M為原點(diǎn)MB為x軸,ME為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,…….. 8分
則由(1)及已知條件可知B(1,0,0),,
,D,C
            …… 9分
設(shè)異面直線所成角為,
 ……10分 
 ……11分
可知滿足,
是平面ACD的一個(gè)法向量,                  …… 12分
記點(diǎn)到平面的距離d,則在法向量方向上的投影絕對(duì)值為d  
 ……13分  所以d       …… 14分
(2),(3)解法二:
取AD中點(diǎn)N,連接MN,則MN是的中位線,MN//AB,又ME//CD
所以直線所成角為等于MN與ME所成的角,
或其補(bǔ)角中較小之一                                         ……  8分
,N為在斜邊中點(diǎn)
所以有NE=,MN=,ME=,
        …….9分
=                     ……10分
(3)記點(diǎn)到平面的距離d,則三棱錐B-ACD的體積,  ……11分
又由(1)知AE是A-BCD的高、 …..12分

E為BC中點(diǎn),AEBC 又, ,
       ……13分
 到平面的距離                ……14分
解法三:(1) 因 , 滿足:, , 1分
如圖,以D為原點(diǎn)DB為x軸,DC為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,         …….. 2分
則條件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),, A(a,b,c)  (由圖知a>0,b>0,c>0) …….3分
 ….. 4分
平面BCD的法向量可取,
,所以平面ABD的一個(gè)法向量為        5分
則銳二面角的余弦值 …..6分
從而有,                 7分
所以平面          9分
(2)由(1),D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),
設(shè)異面直線所成角為,則 ……10分 
 ……11分
(3)由可知滿足,
是平面ACD的一個(gè)法向量,                  …… 12分
記點(diǎn)到平面的距離d,則在法向量方向上的投影絕對(duì)值為d  
 ……13分  所以d       …… 14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
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