Question

16．已知點P為圓x²+y²=25上任意一點，過P作x軸的垂線，垂足為H，且滿足$\overrightarrow{MH}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$，若M的軌跡為曲線E．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的方程；
（2）設過曲線E左焦點的兩條弦為MN、PQ，弦MN，PQ所在直線的斜率分別為k₁、k₂，當k₁k₂=1時，判斷$\frac{1}{|MN|}$+$\frac{1}{|PQ|}$是否為定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設P點坐標為（x₀，y₀），M點坐標為（x，y），由$\overrightarrow{MH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}}\\{y=\frac{3}{5}{y_0}}\end{array}}\right.$，把P點代入x²+y²=25即可得出．
（2）由題設知，F₁（-4，0），則MN：y=k₁（x+4），PQ：y=k₂（x+4），將MN與C的方程聯立消y得$（25{k}_{1}^{2}+9）$x²+200${k}_{1}^{2}$x+$400{k}_{1}^{2}$-225=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$|MN|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（1+k_1^2）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．同理：|PQ|，k₁k₂=1，代入即可得出．

解答 解：（1）設P點坐標為（x₀，y₀），M點坐標為（x，y），
由$\overrightarrow{MH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}}\\{y=\frac{3}{5}{y_0}}\end{array}}\right.$，而P點在x²+y²=25上，代入得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）由題設知，F₁（-4，0），則MN：y=k₁（x+4），PQ：y=k₂（x+4）
將MN與C的方程聯立消y得$（25{k}_{1}^{2}+9）$x²+200${k}_{1}^{2}$x+$400{k}_{1}^{2}$-225=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁、x₂是“*”的二根，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{200k_1^2}{25k_1^2+9}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{400k_1^2-225}{25k_1^2+9}}\end{array}}\right.$，
則$|MN|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（1+k_1^2）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{（1+k_1^2）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（1+k_1^2）•\frac{400k_1^4-4（400k_1^2-225）（25k_1^2+9）}{{{{（25k_1^2+9）}^2}}}}$=$\frac{90（1+k_1^2）}{25k_1^2+9}$．
同理：$|PQ|=\frac{90（1+k_2^2）}{25k_2^2+9}$
∵k₁k₂=1∴$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|PQ|}=\frac{1}{{\frac{90（1+k_1^2）}{25k_1^2+9}}}+\frac{1}{{\frac{90（1+k_2^2）}{25k_2^2+9}}}$
=$\frac{25k_1^2+9}{90（1+k_1^2）}+\frac{25k_2^2+9}{90（1+k_2^2）}=\frac{（25k_1^2+9）（1+k_2^2）+（25k_2^2+9）（1+k_1^2）}{90（1+k_1^2）（1+k_2^2）}$=$\frac{{18+34k_1^2+34k_2^2+50{{（{k_1}{k_2}）}^2}}}{{90[1+k_1^2+k_2^2+{{（kk）}^2}]}}=\frac{68+34k_1^2+34k_2^2}{90（2+k_1^2+k_2^2）}$=$\frac{34（2+k_1^2+k_2^2）}{90（2+k_1^2+k_2^2）}=\frac{17}{45}$，
∴$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|PQ|}$為定值，值為$\frac{17}{45}$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交弦長問題、圓的方程、一元二次方程的根與系數的關系、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．