1.過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線l分別與x,y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí),求直線l的方程;
(2)當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí),求直線l的方程.

分析 (1)設(shè)A(a,0),B(0,b)(a,b>0).直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$,把點(diǎn)P(2,1)代入可得$\frac{2}{a}+\frac{1}=1≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$,所以利用基本不等式即可得出.
(2)|OA|+|OB|=$a+b=(a+b)(\frac{2}{a}+\frac{1}=1)=3+\frac{a}+\frac{2b}{a}≥3+2\sqrt{2}$,即由基本不等式等號(hào)成立的條件可得直線的方程.

解答 解:設(shè)A(a,0),B(0,b)(a,b>0).
(1)設(shè)直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$,
代入P(2,1)得$\frac{2}{a}+\frac{1}=1≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$,
得ab≥8,從而${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}ab≥4$,
此時(shí)$\frac{2}{a}=\frac{1}$,$k=-\frac{a}=-\frac{1}{2}$.
∴方程為x+2y-4=0.
(2)$a+b=(a+b)(\frac{2}{a}+\frac{1}=1)=3+\frac{a}+\frac{2b}{a}≥3+2\sqrt{2}$,
此時(shí)$\frac{a}=\frac{2b}{a}$,$k=-\frac{a}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
∴方程為$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的截距式方程,涉及基本不等式求最值,屬中檔題.

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