Question

2．f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+alnx，（x＞0，0＜a＜e）}\\{cosx，（x≤0）}\end{array}}$，則y=f[f（x）]的零點(diǎn)有（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 無窮多個(gè)

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在x＞0時(shí)的最小值，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后判斷x≤0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，推出結(jié)果即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，求導(dǎo)可得$f（x）=\frac{1}{x}+alnx$在$x=\frac{1}{a}$時(shí)有最小值，$f（\frac{1}{a}）=a+aln\frac{1}{a}$，
又$0＜a＜e，ln\frac{1}{a}＞ln\frac{1}{e}=-1$，所以$f（\frac{1}{a}）＞0$，即x＞0時(shí)，f（x）＞0，y=f[f（x）]＞0，沒有零點(diǎn)．
當(dāng)x≤0時(shí)，cosx∈[-1，1]，若cosx＞0，則y=f[f（x）]＞0，
若cosx∈[-1，0]，則同樣可得y=f[f（x）]＞0，函數(shù)沒有零點(diǎn)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查計(jì)算能力．