Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-alnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²-f（x）且a＜1，試確定g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極小值，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）a=3時(shí)，f（x）=x-3lnx，f′（x）=1-$\frac{3}{x}$，
0＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，x＞3時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（3）=3-3ln3＜0，
又f（1）=1＞0，f（e²）=e²-6＞0，f（1）f（3）＜0，f（3）f（e²）＜0，
∴f（x）在（1，3），（3，e²）各有1個(gè)零點(diǎn)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1-a}{2}$x²-x+alnx，
g′（x）=$\frac{（1-a）（x-1）（x-\frac{a}{1-a}）}{x}$，
∵a＜1，x＞0，∴當(dāng)$\frac{a}{1-a}$＜1即a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
由g′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{a}{1-a}$，
當(dāng)$\frac{a}{1-a}$=1即a=$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）≥0，
當(dāng)$\frac{a}{1-a}$＞1即$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，由g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{1-a}$或x＜1，
∴a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）在（0，$\frac{a}{1-a}$），（1，+∞）遞增，
a=$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）在（0，+∞）遞增，
$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，g（x）在（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．