精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】對于任意給定的無理數、及實數，證明：圓周上至多只有兩個有理點（縱、橫坐標均為有理數的點）。

【答案】見解析

【解析】

對于點，用表示上述圓周上有理點的個數.

首先，可以作一個符合條件得圓，其上至少有兩個有理點，

為此，取點，.則線段中垂線.

在直線上取點，再取.則以為圓心、為半徑的圓周上至少有、這連個有理點.

其次說明，對于任何無理點以及任意正實數，.

假設有無理點及正實數，在以為圓心、為半徑的圓周上，至少有三個有理點.

則. ①

故， ②

③

記，.

則.

（1）若，則由式②知.

由為無理數，得.故點與重合，矛盾.

類似地，若，得點與重合，矛盾.

（2）若，，由式②、③消去得

.

又為無理數，故.

則、、三點共線，這與、、三點共圓矛盾.

因此，假設不真，即這種圓上至多有兩個有理點.

于是，對于所有的無理點及所有正實數，的最大值為2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝＋，則cosC的最小值為__________．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一只青蛙從數軸的原點出發(fā)，當投下的硬幣正面向上時，它沿數軸的正方向跳動兩個單位；當投下的硬幣反面向上時，它沿數軸的負方向跳動一個單位，若青蛙跳動次停止，設停止時青蛙在數軸上對應的坐標為隨機變量，則______．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，函數.

（1）經過原點分別作曲線、的切線，若兩切線的斜率互為倒數，證明：；

（2）設，當時，恒成立，試求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中，為函數的導函數．

（1）討論的單調性；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】將各位數字和為8的全體正整數按自小到大的順序排成一個數列，稱為P數列.則2015為其中第________項.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產某種產品的年固定成本為200萬元，每生產千件，需另投入成本為，當年產量不足80千件時，（萬元）．當年產量不小于80千件時，（萬元）．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

（2）當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為

（1）求的值； （2）求的值。

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，正確的有（ ）

A.向量與是共線向量，則點、、、必在同一條直線上

B.若且，則角為第二或第四象限角

C.函數是周期函數，最小正周期是

D.中，若，則為鈍角三角形

查看答案和解析>>

同步練習冊答案