Question

6．若函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x在區(qū)間（a²-26，a）上有最大值，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，5）
• B． （-1，5]
• C． （-1，2）
• D． （-1，2]

Answer 1

分析 求函數f（x）的導數，研究其最大值取到的位置，由于函數在區(qū)間（a²-26，a）上有最大值，故最大值點的橫坐標是集合（a²-26，a）的元素，由此可以得到關于參數a的等式，解之求得實數a的取值范圍．

解答 解：由題 f'（x）=x²-1，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函數在（-∞，-1）上是增函數，在（-1，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數
故函數在x=-1處取到極大值$\frac{2}{3}$，判斷知此極大值必是區(qū)間（a²-26，a）上的最大值
∴a²-26＜-1＜a，解得-1＜a＜5，
又當x=a時，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}-a≤\frac{2}{3}$，故有a≤-2或-1≤a≤2．
綜上知a∈（-1，2]．
故選：D．

點評 本題考查用導數研究函數的最值，利用導數研究函數的最值是導數作為數學中工具的一個重要運用，要注意把握其作題步驟，求導，確定單調性，得出最值．