1.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率e=$\frac{1}{2}$,且點(diǎn)$(1,\frac{3}{2})$在橢圓上,
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=-1,求直線l的方程.

分析 (1)由橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率e=$\frac{1}{2}$,且點(diǎn)$(1,\frac{3}{2})$在橢圓上,可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解出即可;
(2)由(1)可得:左頂點(diǎn)A(-2,0),右焦點(diǎn)(1,0).由題意可知直線l不存在時(shí)不滿足條件,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用斜率計(jì)算公式可得k1+k2=-1,$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-1,代入化簡整理即可得出.

解答 解:(1)∵橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率e=$\frac{1}{2}$,且點(diǎn)$(1,\frac{3}{2})$在橢圓上,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=$\sqrt{3}$,∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
(2)由(1)可得:左頂點(diǎn)A(-2,0),右焦點(diǎn)(1,0).
由題意可知直線l不存在時(shí)不滿足條件,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立橢圓方程,化為(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由題意可得△>0.
∴x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$.
∵k1+k2=-1,∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-1,
化為k(x1-1)(x2+2)+k(x2-1)(x1+2)+(x1+2)(x2+2)=0,
整理為(2k+1)x1x2+(k+2)(x1+x2)+4-4k=0.
代入整理為k2-k=0,解得k=0或1.
k=0不滿足題意,應(yīng)舍去.
故k=1,此時(shí)直線l的方程為y=x-1.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于中檔題.

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