Question

8．已知函數(shù)$f（x）=lg（{x+\sqrt{{x^2}+1}}）+2x+sinx，f（{x_1}）+f（{x_2}）＞0$，則下列不等式中正確的是（　�。�

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． x₁+x₂＜0
• D． x₁+x₂＞0

Answer 1

分析 由已知可得：f（x）+f（-x）=lg1=0，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，并且可得函數(shù)f（x）在x≥0時單調(diào)遞增，因此在R上單調(diào)遞增．即可得出．

解答 解：∵f（x）+f（-x）=$lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$+2x+sinx+$lg（-x+\sqrt{（-x）^{2}+1}）$-2x-sinx=lg1=0，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，并且可得函數(shù)f（x）在x≥0時單調(diào)遞增，因此在R上單調(diào)遞增．
∵f（x₁）+f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞-f（x₂），∴f（x₁）＞f（-x₂）．
∴x₁＞-x₂，即x₁+x₂＞0，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式與方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．