Question

12．已知拋物線C 的頂點在原點，F（$\frac{1}{2}$，0）為拋物線的焦點．
（1）求拋物線C 的方程；
（2）過點F 的直線l與動拋物線C 交于 A、B 兩點，與圓M：${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-8）^2}=49$交于D、E兩點，且D、E位于線段 AB上，若|AD|=|BE|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），則$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，解得p即可得出．
（2）直線l為x軸時不成立．設直線l的方程為：x=ty+$\frac{1}{2}$，取CD的中點N，連接MN，則MN⊥CD，∵|AC|=|BD|，點N是線段AB的中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），與拋物線方程聯立化為：y²-2ty-1=0，可得N$（{t}^{2}+\frac{1}{2}，t）$．利用MN⊥AB，即可得出t．

解答 解：（1）由題意可設拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），則$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，解得p=2，
∴拋物線的標準方程為：y²=2x．
（2）直線l為x軸時不成立．
設直線l的方程為：x=ty+$\frac{1}{2}$，
取CD的中點N，連接MN，則MN⊥CD，
∵|AC|=|BD|，
∴點N是線段AB的中點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=ty+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，化為：y²-2ty-1=0，
∴y₁+y₂=2t，y₀=t，x₀=t²+$\frac{1}{2}$，即N$（{t}^{2}+\frac{1}{2}，t）$．
∵MN⊥AB，
∴$\frac{t-8}{{t}^{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}$=-t，解得t=2．
∴直線l的方程為2x-4y-1=0．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、一元二次方程的根與系數的關系、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．