1.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面積為$\sqrt{3}$,判斷此三角形的形狀.

分析 (1)由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin(A-30°)=$\frac{1}{2}$,結(jié)合范圍0°<A<180°,進而可求A的值.
(2)利用三角形面積公式可求bc=4,進而利用余弦定理可求b+c=4,即可解得b=c=2=a,即可得解.

解答 解:(1)∵$sinAcosC-\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$
$⇒sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin(A+C)+sinC$
$⇒\sqrt{3}sinAsinC-cosAsinC=sinC$.
∵sinC>0,
∴$\sqrt{3}sinA-cosA=1⇒sin(A-{30°})=\frac{1}{2}$.
∵0°<A<180°,
∴-30°<A-30°<150°,
∴A-30°=30°,可得:A=60°.
(2)$S=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}?bc=4$,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
⇒4=(b+c)2-12,
⇒b+c=4,
⇒b=c=2.
∵A=60°,
∴B=C=60°.
故△ABC是正三角形.

點評 本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,熟練應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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10.已知a,b為正實數(shù),向量$\overrightarrow{m}$=(a,a-4),向量$\overrightarrow{n}$=(b,1-b),若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,則a+b最小值為3.

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