Question

7．已知橢圓E的右焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P（-4，0），直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點(diǎn)，可得橢圓的焦點(diǎn)，即c=1，再由橢圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，可得a=2，由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可得k_PA+k_PB=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式和點(diǎn)在直線上，將直線y=kx+1代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，代入可得k的方程，化簡(jiǎn)整理，解方程可得k的值．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
則橢圓的焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），即c=1，
點(diǎn)M$（1，\frac{3}{2}）$在橢圓E上，
由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$
=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
即a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由P在x軸上，直線PA，PB均與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，
可得k_PA+k_PB=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$=0，
即有x₁y₂+4y₂+x₂y₁+4y₁=0，
由y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
可得2kx₁x₂+（x₁+x₂）（4k+1）+8=0，①
由直線y=kx+1代入橢圓方程可得（3+4k²）x²+8kx-8=0，
判別式△=64k²+32（3+4k²）＞0顯然成立，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
代入①，可得2k•（-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$）+（-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$）（4k+1）+8=0，
解得k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．