Question

20．已知點A（-3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）過點（0，2）的直線l與圓M相交于D，E兩點，且$|{DE}|=2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用A（-3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑，則圓心M的坐標為（-1，0），又因為|AM|=2，即可求圓M的方程；
（Ⅱ）過點（0，2）的直線l與圓M相交于D，E兩點，且$|{DE}|=2\sqrt{3}$，分類討論，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）已知點A（-3，0），B（1，0），線段AB是圓M的直徑，
則圓心M的坐標為（-1，0）．--------------------------（2分）
又因為|AM|=2，--------------------------（3分）
所以圓M的方程為（x+1）²+y²=4．-------------------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圓M的圓心M（-1，0），半徑為2．
設N為DE中點，則MN⊥l，$|DN|\;=\;|EN|=\frac{1}{2}•2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，-------------------------（5分）
則$|MN|\;=\sqrt{4-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$．--------------------------（6分）
當l的斜率不存在時，l的方程為x=0，此時|MN|=1，符合題意；-------------------------（7分）
當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+2，由題意得$\frac{|k（-1）+2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$--------------------------（8分）
解得$k=\frac{3}{4}$，--------------------------（9分）
故直線l的方程為$y=\frac{3}{4}x+2$，即3x-4y+8=0．--------------------------（10分）
綜上，直線l的方程為x=0或3x-4y+8=0．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．