Question

2．對(duì)于函數(shù)f（x）給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)f″（x）有零點(diǎn)x₀，則稱（x₀，f（x₀））為函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，給定函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-$\frac{1}{3}$x+2，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算$\sum_{i1}^{4035}$f（$\frac{i}{2017}$）=4035．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心．由于函數(shù)的對(duì)稱中心為（1，1），可知f（x）+f（2-x）=2，由此能夠求出所給的式子的值．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-$\frac{1}{3}$x+2，
∴f′（x）=x²-2x-$\frac{1}{3}$
∴f″′（x）=2x-2，由f′′（x）=2x-2=0，得x=1
∵f（1）=$\frac{1}{3}$-1-$\frac{1}{3}$+2=1
∴f（x）的對(duì)稱中心為（1，1），
∴f（2-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{4035}{2017}$）=f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{4034}{2017}$）+…+（$\frac{2017}{2017}$）+f（$\frac{2019}{2017}$）=2f（$\frac{2018}{2017}$）=2，
∴$\sum_{i1}^{4035}$f（$\frac{i}{2017}$）=2×2017+1=4035，
故答案為：4035．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查了函數(shù)的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是尋找函數(shù)值所滿足的規(guī)律，是中檔題．