Question

20．甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：甲商場：顧客轉(zhuǎn)動如圖所示圓盤，當指針指向陰影部分（圖中兩個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為$\frac{π}{4}$，邊界忽略不計）即為中獎．乙商場：從裝有2個白球、2個藍球和2個紅球的盒子中一次性摸出1球（這些球除顏色外完全相同），它是紅球的概率是$\frac{1}{3}$，若從盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2個相同顏色的球，即為中獎．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）試問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)概率公式求出a的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)條件概率公式分別計算，比較即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)隨機事件的概率公式，$\frac{a}{2+a+2}=\frac{1}{3}$，解得a=2．
（Ⅱ）設顧客去甲商場轉(zhuǎn)動圓盤，指針指向陰影部分為事件A，試驗的全部結果構成的區(qū)域為圓盤，
面積為πr²（r為圓盤的半徑），陰影區(qū)域的面積為$S=\frac{{\frac{π}{4}×2}}{2π}π{r^2}=\frac{1}{4}π{r^2}$．
故由幾何概型，得$P（A）=\frac{{\frac{1}{4}π{r^2}}}{{π{r^2}}}=\frac{1}{4}$．
設顧客去乙商場一次摸出兩個相同顏色的球為事件B，
記2個白球為白1，白2；2個紅球為紅1、紅2；2個藍球為藍1、藍2．
則從盒子中一次性摸出2球，一切可能的結果有：
（白1、白2），（白1、紅1）、（白1、紅2），（白1、藍1），（白1、藍2）；
（白2、紅1），（白2、紅2），（白2、藍1），（白2、藍2）；
（紅1、藍1），（紅1、藍2），（紅2、藍1），（紅2、藍2）；
（藍1、藍2）等共15種；
其中摸到的是2個相同顏色的球有（白1、白2），（紅1、紅2），（藍1、藍2）等共3種；
故由古典概型，得$P（B）=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．
因為P（A）＞P（B），所以顧客在甲商場中獎的可能性大．

點評 本題考查了條件概率，考查幾何概型問題，是一道中檔題．