【題目】已知集合．對于， ，定義與之間的距離為．

（Ⅰ）寫出中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；

（Ⅱ）若集合滿足： ，且任意兩元素間的距離均為2，求集合中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合；

（Ⅲ）設(shè)集合， 中有個元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：

(1)在新定義的 中令 ，結(jié)合集合的定義求得 并求解“距離”的最大值即可；

(2)數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為正方體在空間直角坐標系中的坐標，利用幾何關(guān)系處理該問題使得問題更加簡單明了；

(3)利用題意結(jié)合排列組合的知識處理 的式子，然后結(jié)合組合數(shù)和不等式的性質(zhì)進行放縮即可證得結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）， ， ．

（Ⅱ）中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點，已知集合中的元素所對應(yīng)的點，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，所以

或，

集合中元素個數(shù)最大值為4．

（Ⅲ），其中表示中所有兩個元素間距離的總和．

設(shè)中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1， 個0，則

由于

所以

從而

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．

(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料：

日期

月日

月日

月日

月日

月日

月日

晝夜溫差

就診人數(shù)（個）

16

該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取組,用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；

（2）若選取的是月與月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)至月份的數(shù)據(jù),求出 關(guān)于的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問（2）中所得線性回歸方程是否理想？

參考公式：

img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/15/5e628df7/SYS201712291544309711452715_ST/SYS201712291544309711452715_ST.020.png" width="244" height="61" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是菱形， 平面， ，點為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關(guān)，在市第一人民醫(yī)院隨機對入院50人進行了問卷調(diào)查，得到了如表的列聯(lián)表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計

男

5

女

10

合計

50

已知在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為.

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；

（2）是否有99%的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由.

參考格式： ，其中.

下面的臨界值僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且， 為中點，點在上，且平面，連接， ．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；

（Ⅲ）已知， ，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)果．

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知指數(shù)函數(shù)

（1）函數(shù)過定點，求的值；

（2）當時，求函數(shù)的最小值；

(3)是否存在實數(shù)，使得（2）中關(guān)于的函數(shù)的定義域為時，值域為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.[選修4-1：幾何證明選講]

如圖， 分別與圓相切于點， ， 經(jīng)過圓心，且，求證： .

B.[選修4-2：矩陣與變換]

在平面直角坐標系中，已知點， ， ， ，先將正方形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再將所得圖形的縱坐標壓縮為原來的一半、橫坐標不變，求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的矩陣.

C.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.現(xiàn)以為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，求曲線的極坐標方程.

D.[選修4-5：不等式選講]

已知為互不相等的正實數(shù)，求證： .

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