Question

14．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），現(xiàn)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）已知點P為曲線C上的動點，求P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)t即可得到直線l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ將曲線C轉化為普通方程；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，求出P到直線l的距離的最小值，再根據(jù)函數(shù)取最值的情況求出P點的坐標，得到本題結論．

解答 解：（Ⅰ）直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），消去參數(shù)t得普通方程y=x-4．
由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x²+y²=ρ²，得
y²+（x-2）²=4；
（Ⅱ）由y²+（x-2）²=4得圓心坐標為（2，0），半徑R=2，
則圓心到直線的距離為：d=$\frac{|2-0+4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
而點P在圓上，即O′P+PQ=d（Q為圓心到直線l的垂足），
所以點P到直線l的距離最小值為3√2-√2=2√2．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為平面直角坐標方程、點到直線的距離公式，本題難度不大，屬于基礎題．