Question

4．已知曲線C上的任意一點到點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，直線l過點A（1，1），且與C交于P，Q兩點；
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若A為PQ的中點，求三角形OPQ的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用曲線C上任意一點到點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，可知曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點的拋物線，從而可求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，即可求三角形OPQ的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C上任意一點到點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等．
∴曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點的拋物線
∴曲線C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=2
因為y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
所以作差，可得直線l斜率為2，…（6分）
所以直線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．
此時直線l與拋物線相交于兩點．…（7分）
設T為l與x的交點，則|OT|=$\frac{1}{2}$，…（8分）
由y=2x-1與y²=4x，消去x得y²-2y-2=0，…（9分）
所以y₁+y₂=2，y₁y₂=-2，…（10分）
所以三角形OPQ的面積為S=$\frac{1}{2}$|OT||y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，正確運用韋達定理．