Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx
（1）若曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為5，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f（2t-1）-2f（t）≥-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）的值，求出a即可；
（2）由f（x）的解析式化簡(jiǎn)不等式，分離參數(shù)a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$，
故f′（1）=4+a=5，解得：a=1；
（2）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f（2t-1）≥2f（t）-3⇒2t2-4t+2≥2alnt-aln（2t-1）=aln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$．
當(dāng)t≥1時(shí)，t²≥2t-1，∴l(xiāng)n $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≥0．即t＞1時(shí)，a≤$\frac{{2（t-1）}^{2}}{ln\frac{{t}^{2}}{2t-1}}$恒成立．
又易證ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴l(xiāng)n $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$=ln[1+$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$]≤$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$＜（t-1）2在t＞1上恒成立，
當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)t≥1時(shí)，ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≤（t-1）2，
∴由上知a≤2．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．考查考生的運(yùn)算、推導(dǎo)、判斷能力．